ANP网络层次分析法原理与应用

网络层次分析法（Analytic Network Process，ANP）是 Saaty 教授在层次分析法（AHP）基础上提出的一种多准则决策方法。AHP 假定同一层次内的因素彼此独立，而现实中的管理、工程和社会系统往往存在相互依赖与反馈：技术能力会影响服务质量，服务质量又会影响品牌声誉，品牌声誉还可能反过来促进资源投入。ANP 用网络结构和超矩阵描述这类关系，因此更适合分析复杂决策系统。

本文从 ANP 的基本原理出发，解释未加权超矩阵、加权超矩阵和极限超矩阵的含义，并以某制造企业数字化转型关键因素评价为例，使用专家调研数据演示从网络建模到最终权重的完整过程。

1. 为什么需要 ANP

1.1 AHP 的独立性假设

AHP 将问题组织成目标层、准则层和方案层，结构清晰、易于解释。但这种自上而下的层次结构通常包含两个假设：

1. 同一层次中的元素相互独立；
2. 影响主要沿层次由上向下传递，不考虑反馈。

当“成本影响技术选择、技术选择又改变成本”，或“多个评价指标相互促进、相互制约”时，简单的层次结构便难以完整表达真实关系。

1.2 ANP 的核心改进

ANP 不再要求各元素严格独立，而是允许：

• 元素组内部存在依赖关系；
• 不同元素组之间存在相互影响；
• 影响是单向或双向的；
• 系统中存在反馈回路。

因此，AHP 可以看作 ANP 的一种特殊情况：当网络中不存在横向依赖和反馈时，ANP 网络就退化为层次结构。

2. ANP 的网络结构与基本概念

一个典型的 ANP 模型由控制层和网络层组成。

<div style=“text-align: center;”> <img src=“figures/anp/anp.png” width=“600” alt=“ANP 网络结构示意图”> </div>

• 控制层：位于网络上方，通常包括一个决策目标和若干控制准则。控制准则本身仍可按 AHP 的层次结构组织，并通过判断矩阵计算准则权重。
• 网络层：位于控制层下方，由若干元素组（Cluster）及组内元素（Node）构成。网络层受控制准则支配，元素之间可以存在组内依赖、组间依赖和反馈。

控制层负责回答“从什么角度评价”，网络层负责回答“各因素如何相互作用”。

若网络层共有 $n$ 个元素组 $C_1,C_2,\ldots,C_n$，元素组 $C_i$ 中的元素记为 $e_{i1},e_{i2},\ldots,e_{ik}$，那么只要 $C_i$ 中至少有一个元素影响 $C_j$ 中的某个元素，就认为元素组 $C_i$ 对 $C_j$ 存在影响。由此可形成三类典型关系：

1. 内部依赖：同一元素组内的元素相互影响；
2. 外部依赖：不同元素组之间存在单向影响；
3. 反馈关系：两个元素或元素组之间存在双向影响，形成循环路径。

2.1 直接优势度与间接优势度

AHP 常采用==直接优势度==比较：在某一准则下，直接判断两个元素谁更重要。

ANP 更强调==间接优势度==比较：以某个受影响元素为次准则，比较其他元素对它的影响程度。

例如，若“管理层支持”和“员工数字技能”都会影响“数字基础设施”，则以数字基础设施为次准则，比较管理层支持与员工数字技能对它的影响强弱，并形成判断矩阵。==没有影响数字基础设施的元素不参与该矩阵==。

2.2 1—9 标度与判断矩阵

ANP 中的局部比较仍使用 AHP 的 1—9 标度法：

设一个 $r$ 阶判断矩阵为 $P=(p_{uv})_{r\times r}$，采用方根法计算局部权重：

$$ g_u=\left(\prod_{v=1}^{r}p_{uv}\right)^{1/r},\qquad w_u=\frac{g_u}{\sum_{h=1}^{r}g_h} $$

每个判断矩阵还应进行一致性检验：

$$ CI=\frac{\lambda_{\max}-r}{r-1},\qquad CR=\frac{CI}{RI} $$

通常 $CR<0.100$ 表示一致性可以接受。若矩阵只有一个或两个元素，其一致性天然成立。

3. ANP 的计算步骤

3.1 建立 ANP 网络结构

首先确定控制层中的准则、网络层中的元素及元素组，并确定元素之间的影响关系。影响关系一般由专家判断，可以用影响关系矩阵表示：1 表示两个元素之间存在影响，0 表示不存在影响，影响方向由行元素指向列元素。

根据元素之间的关系可以进一步确定元素组之间的关系：只要一个元素组中的任意元素影响另一个元素组中的元素，就认为两个元素组之间存在影响。

3.2 构造判断矩阵

==根据间接优势度原则构造判断矩阵。无论比较元素还是元素组，只有对次准则存在影响关系的对象参与比较，没有影响关系的对象不参与判断矩阵的构建。==

假设网络层有 $n$ 个元素组 $C_1,C_2,\ldots,C_n$，元素组 $C_i$ 中的元素记为 $e_{i1},e_{i2},\ldots,e_{ik}$。以元素组 $C_j$ 中的某个元素 $e_{jl}$ 为次准则，对 $C_i$ 中所有影响 $e_{jl}$ 的元素进行两两比较，使用 1—9 标度构造判断矩阵，并计算归一化特征向量，即计算AHP判断矩阵的权重向量：

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline e_{jl}&e_{i1}&e_{i2}&\cdots&e_{ik}&\text{归一化特征向量}\ \hline e_{i1}&&&&&w_{i1}^{jl}\ \hline e_{i2}&&&&&w_{i2}^{jl}\ \hline \vdots&&&&&\vdots\ \hline e_{ik}&&&&&w_{ik}^{jl}\ \hline \end{array} $$

所有判断矩阵均应通过一致性检验。

将元素组 $C_j$ 中各元素作为次准则时得到的归一化特征向量组合，形成权重向量矩阵：

$$ W_{ij}=\begin{bmatrix} w_{i1}^{j1}&w_{i1}^{j2}&\cdots&w_{i1}^{jl}\ w_{i2}^{j1}&w_{i2}^{j2}&\cdots&w_{i2}^{jl}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ w_{ik}^{j1}&w_{ik}^{j2}&\cdots&w_{ik}^{jl} \end{bmatrix} $$

$W_{ij}$ 的行数 $k$ 是元素组 $C_i$ 中的元素个数，列数 $l$ 是元素组 $C_j$ 中的元素个数。每个列向量都是以 $C_j$ 中某个元素为次准则，对 $C_i$ 中影响该元素的各元素进行比较后得到的归一化特征向量。如果 $C_j$ 中的元素不受 $C_i$ 中元素影响，则相应列向量为 0；如果两个元素组之间不存在影响关系，则 $W_{ij}=0$。

3.3 构造超矩阵

$W_{ij}$ 是元素组 $C_i$ 对元素组 $C_j$ 的影响矩阵。对所有元素组重复上述步骤，将各分块矩阵组合，得到未加权超矩阵：

$$ W=\begin{bmatrix} W_{11}&W_{12}&\cdots&W_{1n}\ W_{21}&W_{22}&\cdots&W_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ W_{n1}&W_{n2}&\cdots&W_{nn} \end{bmatrix} $$

超矩阵的每一列是网络中各元素对某个目标元素的局部影响权重组合。对于影响该目标元素的每个元素组，其对应局部权重向量之和为 1；不存在影响关系的元素组，对应权重均为 0。因此，当多个元素组同时影响同一目标元素时，未加权超矩阵的列和可能大于 1。

3.4 计算加权超矩阵

以每个元素组为次准则，对影响该元素组的所有元素组进行两两比较，计算归一化特征向量，得到元素组权重矩阵：

$$ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} $$

如果某元素组与次准则元素组无关，则对应权重为 0。

用元素组权重矩阵 $A$ 对超矩阵 $W$ 的各分块进行加权，得到加权超矩阵：

$$ \bar W=\begin{bmatrix} a_{11}W_{11}&a_{12}W_{12}&\cdots&a_{1n}W_{1n}\ a_{21}W_{21}&a_{22}W_{22}&\cdots&a_{2n}W_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ a_{n1}W_{n1}&a_{n2}W_{n2}&\cdots&a_{nn}W_{nn} \end{bmatrix} $$

最后对 $\bar W$ 按列归一化，使每一列之和为 1。

3.5 计算极限超矩阵及元素权重

设加权超矩阵 $\bar {W}$ 的元素为 $\bar w_{ij}$，则 $\bar w_{ij}$ 的大小反映了元素 $i$ 对元素 $j$ 的一步优势度，$i$ 对 $j$ 的优势度还可用 $\sum \limits_{k=1}^n \bar w_{ik} \bar w_{kj}$ 得到，称为二步优势度，即 $\bar W ^2$。

对加权超矩阵不断进行幂运算：

$$ \bar W^{(\infty)}=\lim_{t\rightarrow\infty}\bar W^t $$

当矩阵结果不再变化时，得到极限超矩阵。其稳定列向量即为各网络层元素的全局权重。

4. 实例：制造企业数字化转型关键因素评价

4.1 案例背景与数据来源

某制造企业计划推进生产、供应链和经营管理的数字化转型。项目组希望识别应优先投入的关键因素，但访谈发现，各因素并非彼此独立：管理层支持会带动基础设施投资，数据能力会改变业务流程，员工数字技能又会影响数据工具的应用效果。因此，本例采用 ANP 而非普通 AHP 计算因素权重。

项目组邀请 5 位专家参与评价，包括 2 位企业数字化负责人、1 位生产运营负责人、1 位信息系统顾问和1位高校管理科学研究者。专家先通过访谈确定因素及影响关系，再采用 1—9 标度独立填写判断矩阵。对于多位专家的判断值，使用几何平均法集结为群体判断矩阵。案例指标体系如下：

<table> <thead> <tr> <th>元素组</th> <th>编号</th> <th>评价因素</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>组织能力 C₁</td> <td>O₁</td> <td>管理层支持</td> </tr> <tr> <td>O₂</td> <td>员工数字技能</td> </tr> <tr> <td>O₃</td> <td>业务流程敏捷性</td> </tr> <tr> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>技术基础 C₂</td> <td>T₁</td> <td>数字基础设施</td> </tr> <tr> <td>T₂</td> <td>数据治理能力</td> </tr> <tr> <td>T₃</td> <td>网络安全保障</td> </tr> </tbody> </table>

4.2 确定网络影响关系

专家组根据企业访谈和数字化转型相关研究确定直接影响关系。例如，员工数字技能和业务流程敏捷性都会影响管理层对项目成效的判断；管理层支持与员工数字技能会影响数字基础设施建设；数据治理能力还会通过数据质量和分析应用反过来影响组织决策。

按 $O_1、O_2、O_3、T_1、T_2、T_3$ 排列，以“行因素影响列因素”记为 1，得到影响关系矩阵：

这个网络同时包含组内依赖和组间反馈。例如，$O_2\rightarrow O_1$ 属于组织能力组内依赖，$O_1\rightarrow T_1$ 属于跨组影响，而 $O_3\leftrightarrow T_3$ 形成双向反馈。

4.3 构造节点判断矩阵

多专家判断矩阵说明： 部分论文直接给出一个采用 1—9 标度构造的判断矩阵，未明确说明该矩阵来自单一专家，还是多位专家意见的集结。若由 $q$ 位专家分别给出判断矩阵，通常对同一位置的判断值使用几何平均法集结，即 $\bar a_{ij}=(\prod_{h=1}^{q}a_{ij}^{(h)})^{1/q}$。集结后的判断值通常为小数，并且仍满足 $\bar a_{ji}=1/\bar a_{ij}$。本文按多专家集结判断矩阵的思路进行计算；为了便于展示计算过程，案例中使用了简洁的 1—9 标度值。正式论文应保留并报告基于真实专家打分计算得到的小数集结判断矩阵，不宜为了得到整数标度而再次取整。

对影响同一目标因素且属于同一元素组的因素进行两两比较。以管理层支持 $O_1$ 为次准则时，组织能力组中只有员工数字技能 $O_2$ 和业务流程敏捷性 $O_3$ 对其产生直接影响。为演示计算，设集结后的判断结果为 $O_2$ 的影响约为 $O_3$ 的 3 倍，得到判断矩阵：

$$ P_{O_1-C_1}=\begin{bmatrix} 1&3\ 1/3&1 \end{bmatrix} $$

两行依次对应 $O_2、O_3$。使用方根法计算：

$$ g_{O_2}=\sqrt{1\times3}=1.732,\qquad g_{O_3}=\sqrt{\frac{1}{3}\times1}=0.577 $$

归一化后得到局部权重：

$$ w=(0.750,\ 0.250)^T $$

按照理论部分的记号，该向量是以 $O_1$ 为次准则、由元素组 $C_1$ 中影响因素形成的局部权重向量，也是分块矩阵 $W_{11}$ 中对应 $O_1$ 的列向量。

再以数据治理能力 $T_2$ 为次准则，比较组织能力组 $C_1$ 内的 $O_1、O_2、O_3$ 对它的影响。本文用于演示的判断矩阵为：

$$ P_{T_2-C_1}=\begin{bmatrix} 1&1/4&2\ 4&1&4\ 1/2&1/4&1 \end{bmatrix} $$

计算得到局部权重 $(0.208,0.661,0.131)^T$，最大特征值 $\lambda_{\max}=3.054$，$CI=0.027$。按本计算口径取 $RI=0.520$，则：

$$ CR=\frac{0.027}{0.520}=0.052<0.100 $$

一致性可以接受。该权重向量对应分块矩阵 $W_{12}$ 中目标元素 $T_2$ 所在的列。

其余节点判断矩阵采用相同方式计算，并确保所有 $CR<0.100$。

4.4 构造元素组权重矩阵 $A$

以组织能力 $C_1$ 为次准则，专家认为组织能力组的影响约为技术基础组的 4 倍：

$$ P_{C_1}=\begin{bmatrix}1&4\1/4&1\end{bmatrix} $$

得到 $C_1、C_2$ 对组织能力组的局部影响权重 $(0.800,0.200)^T$。

以技术基础 $C_2$ 为次准则，专家认为技术基础组的内部作用约为组织能力组的 3 倍：

$$ P_{C_2}=\begin{bmatrix}1&1/3\3&1\end{bmatrix} $$

得到局部影响权重 $(0.250,0.750)^T$。组合后形成元素组权重矩阵：

$$ A=\begin{bmatrix} 0.800&0.250\ 0.200&0.750 \end{bmatrix} $$

矩阵的列分别表示“以组织能力为次准则”和“以技术基础为次准则”。这些数值是元素组间的局部影响权重，并不是两个元素组最终的综合权重。

4.5 构造未加权超矩阵 $W$

将全部节点判断矩阵的局部权重，按照 $O_1、O_2、O_3、T_1、T_2、T_3$ 的顺序填入相应位置，得到未加权超矩阵：

$$ W=\begin{bmatrix} 0&0.750&0&0.200&0.208&0.667\ 0.750&0&1.000&0.800&0.661&0\ 0.250&0.250&0&0&0.131&0.333\ 0&0&0.094&0&0&0.800\ 0&0&0.280&1.000&1.000&0.200\ 0&0&0.627&0&0&0 \end{bmatrix} $$

以第一列为例说明，它以管理层支持 $O_1$ 为次准则，列向量为：

$$ W_{(:,O_1)}=(0, 0.750, 0.250, 0, 0, 0)^T $$

其中，第一个 0 表示 $O_1$ 不对自身产生直接影响；$O_2$ 和 $O_3$ 对 $O_1$ 存在直接影响，因此将判断矩阵 $P_{O_1-C_1}$ 得到的局部权重 0.750 和 0.250 填入第二、第三行。第四至第六行的三个 0 分别对应 $T_1、T_2、T_3$，表示技术基础组中没有元素对 $O_1$ 存在设定的直接影响，因而无需以 $O_1$ 为次准则构造该组的判断矩阵，相应的分块列向量直接记为 0。这些 0 表示“不存在影响关系”，并非参与判断矩阵计算后得到了零权重。

4.6 构造加权超矩阵 $\bar W$

先用元素组权重矩阵 $A$ 对未加权超矩阵 $W$ 的相应分块加权。这里的 $AW$ 表示分块加权结果：将 $W_{ij}$ 乘以对应的元素组权重 $a_{ij}$，而不是将 $2\times2$ 的 $A$ 与 $6\times6$ 的 $W$ 直接进行普通矩阵乘法。即：

$$ AW= \begin{bmatrix} a_{11}W_{11}&a_{12}W_{12}\ a_{21}W_{21}&a_{22}W_{22} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0&0.600&0&0.050&0.052&0.167\ 0.600&0&0.800&0.200&0.165&0\ 0.200&0.200&0&0&0.033&0.083\ 0&0&0.019&0&0&0.600\ 0&0&0.056&0.750&0.750&0.150\ 0&0&0.125&0&0&0 \end{bmatrix} $$

再对 $AW$ 按列归一化，得到归一化后的加权超矩阵：

$$ \bar W=\begin{bmatrix} 0&0.750&0&0.050&0.052&0.167\ 0.750&0&0.800&0.200&0.165&0\ 0.250&0.250&0&0&0.033&0.083\ 0&0&0.019&0&0&0.600\ 0&0&0.056&0.750&0.750&0.150\ 0&0&0.125&0&0&0 \end{bmatrix} $$

该矩阵每列之和均为 1。矩阵元素表示网络中的一步相对影响，尚不是最终权重。

4.7 求极限超矩阵 $\bar W^{(\infty)}$

对加权超矩阵持续进行幂运算，得到极限超矩阵：

$$ \bar W^{(\infty)}=\begin{bmatrix} 0.298&0.298&0.298&0.298&0.298&0.298\ 0.385&0.385&0.385&0.385&0.385&0.385\ 0.176&0.176&0.176&0.176&0.176&0.176\ 0.017&0.017&0.017&0.017&0.017&0.017\ 0.102&0.102&0.102&0.102&0.102&0.102\ 0.022&0.022&0.022&0.022&0.022&0.022 \end{bmatrix} $$

各列已经相同，说明网络达到稳定状态。任取一列即可得到六个因素的全局权重。

4.8 最终权重与管理启示

<table> <thead> <tr> <th>元素组</th> <th>组权重</th> <th>评价因素</th> <th>组内局部权重</th> <th>全局权重</th> <th>排名</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>组织能力</td> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>0.859</td> <td>管理层支持</td> <td>0.347</td> <td>0.298</td> <td>2</td> </tr> <tr> <td>员工数字技能</td> <td>0.448</td> <td>0.385</td> <td>1</td> </tr> <tr> <td>业务流程敏捷性</td> <td>0.205</td> <td>0.176</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>技术基础</td> <td rowspan=“3” style=“vertical-align: middle;”>0.141</td> <td>数字基础设施</td> <td>0.117</td> <td>0.017</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>数据治理能力</td> <td>0.726</td> <td>0.102</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>网络安全保障</td> <td>0.157</td> <td>0.022</td> <td>5</td> </tr> </tbody> </table>

最终排序为：

$$ \text{员工数字技能}>\text{管理层支持}>\text{业务流程敏捷性}> \text{数据治理能力}>\text{网络安全保障}>\text{数字基础设施} $$

组织能力组的综合权重为：

$$ 0.298+0.385+0.176=0.859 $$

技术基础组权重为 0.141。

以员工数字技能为例，其组内局部权重为：

$$ \frac{0.385}{0.859}=0.448 $$

结果表明，企业数字化转型不能只理解为购买设备或部署系统。员工数字技能的全局权重最高（0.385），管理层支持次之（0.298），二者共同决定技术能否真正被采用并转化为业务成效。数据治理能力在技术基础组内权重最高（0.726），说明技术投入应优先围绕数据标准、数据质量和数据使用机制展开，而不是孤立扩充硬件。

需要注意，元素组判断矩阵中的 0.800、0.200 或 0.250、0.750 是局部影响权重，并不等于最终组权重。最终的 0.859 和 0.141 是整个网络经过反馈迭代后形成的稳定结果，这正是 ANP 与普通层次加权的主要区别。

5. 实际研究中的数据准备要点

1. 明确研究目标：先界定是评价关键因素、比较方案，还是确定资源投入优先级。
2. 建立因素体系：通过文献综述、访谈或德尔菲法确定元素组与组内因素，避免概念重叠。
3. 识别影响方向：要求专家判断“因素 $i$ 是否直接影响因素 $j$”，不要仅凭相关关系建立连线。
4. 生成判断矩阵：只比较确实影响同一目标且属于同一元素组的因素；无影响者不进入该矩阵。
5. 集结专家意见：多位专家的互反判断矩阵宜采用几何平均法集结；必要时可根据专家资历设置权重。
6. 检查一致性：所有判断矩阵均应满足 $CR<0.100$，否则应请专家重新核对矛盾判断。

若网络规模较大，应先整理“元素组—元素”清单和影响关系矩阵，再批量生成所需判断矩阵，以减少漏填、重复比较或工作表命名错误。

6. ANP 的优势、局限与适用场景

6.1 主要优势

1. 能够处理相互依赖和反馈：比严格层次化的 AHP 更接近复杂系统实际。
2. 保留定性判断能力：仍可使用专家熟悉的两两比较，将经验知识定量化。
3. 结果具有系统性：极限权重体现直接影响、间接影响和循环反馈的综合效果。
4. 模型结构灵活：可描述组内依赖、组间依赖及双向关系。

6.2 主要局限

1. 建模和填表工作量较大：网络越密集，需要构造的判断矩阵越多。
2. 主观性仍然存在：影响关系和两两比较值依赖专家判断。
3. 解释难度高于 AHP：最终权重由网络迭代产生，不能简单解释为逐层权重相乘。
4. 可能出现不收敛或周期振荡：网络结构不合理、矩阵不可约性或周期性问题可能影响极限超矩阵形成。
5. 错误关系会被网络放大：若无理论依据地连接大量元素，模型复杂度增加，却未必提高结论质量。

6.3 典型适用场景

ANP 常用于供应商选择、项目评价、风险评估、城市韧性、技术创新、绿色发展、战略决策和政策评价等问题，尤其适合指标之间存在显著联动的场景。如果指标之间基本独立、关系清晰且呈单向层次结构，AHP 通常更简洁；如果存在明显依赖与反馈，则 ANP 更有优势。

7. 总结

ANP 的关键不是把 AHP 的判断矩阵做得更多，而是先用网络结构准确表达真实的依赖和反馈，再通过超矩阵将局部判断整合为稳定的全局权重。其基本流程可概括为：

$$ \text{建立网络结构} \rightarrow\text{构造判断矩阵} \rightarrow\text{未加权超矩阵} \rightarrow\text{加权超矩阵} \rightarrow\text{极限超矩阵} \rightarrow\text{最终权重} $$

本文以制造企业数字化转型为例，使用专家调研数据演示了 ANP 的完整计算过程。结果显示，六个因素的全局权重依次为员工数字技能（0.385）、管理层支持（0.298）、业务流程敏捷性（0.176）、数据治理能力（0.102）、网络安全保障（0.022）和数字基础设施（0.017）。案例也说明，ANP 的价值不仅是给出排序，更在于把因素间的依赖和反馈纳入同一套权重计算框架，为复杂系统中的资源配置提供依据。