群策AHP原理、步骤与应用

层次分析法（AHP）是美国运筹学家Saaty教授于20世纪70年代提出的一种多准则决策方法，它将复杂问题分解为层次结构，通过两两比较量化决策者的主观判断。

而群决策AHP则将多个专家的判断集结起来，充分发挥集体智慧的优势。本文将深入解析群决策AHP的两种主流方法：专家问卷几何平均法和专家权重加权平均法，通过简化案例演示计算步骤，帮助您学习了解这一方法。

1. 专家问卷几何平均法

1.1 理论基础

这种方法的核心思想是将所有专家的判断矩阵通过几何平均的方式集结为群体判断矩阵，然后再计算权重。具体步骤如下：

1. 构建层次结构：将决策问题分解为目标层、准则层和方案层
2. 专家独立评判：每位专家对同一层次的因素进行两两比较，构建判断矩阵
3. 计算几何平均矩阵：将各专家判断矩阵的对应元素进行几何平均
4. 计算权重向量：基于群体判断矩阵计算各因素的权重
5. 一致性检验：确保判断逻辑的一致性

1.2 实证分析与案例计算

步骤1：构建层次结构

假设需要选择最佳供应商，构建如下层次结构：

• 目标层：选择最佳供应商
• 准则层：产品质量、价格水平、服务能力
• 方案层：供应商A、供应商B、供应商C

步骤2：专家独立评判

3位专家分别对准则层进行两两比较，构建判断矩阵：

专家1的判断矩阵： $$ A^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \ 1/3 & 1 & 2 \ 1/5 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} $$

专家2的判断矩阵： $$ A^{(2)} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 1/2 & 1 & 3 \ 1/4 & 1/3 & 1 \end{bmatrix} $$

专家3的判断矩阵： $$ A^{(3)} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \ 1/4 & 1 & 2 \ 1/6 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} $$

步骤3：计算几何平均矩阵

利用公式计算群体判断矩阵的每个元素： $$ a_{ij} = \left[\prod_{k=1}^{s} a_{ij}^{(k)}\right]^{\frac{1}{s}} $$ 其中 $s=3$ 为专家数量。

计算各元素：

• $a_{12} = (3 \times 2 \times 4)^{\frac{1}{3}} = (24)^{\frac{1}{3}} \approx 2.884$
• $a_{13} = (5 \times 4 \times 6)^{\frac{1}{3}} = (120)^{\frac{1}{3}} \approx 4.932$
• $a_{21} = (1/3 \times 1/2 \times 1/4)^{\frac{1}{3}} = (1/24)^{\frac{1}{3}} \approx 0.347$
• $a_{23} = (2 \times 3 \times 2)^{\frac{1}{3}} = (12)^{\frac{1}{3}} \approx 2.289$
• $a_{31} = (1/5 \times 1/4 \times 1/6)^{\frac{1}{3}} = (1/120)^{\frac{1}{3}} \approx 0.203$
• $a_{32} = (1/2 \times 1/3 \times 1/2)^{\frac{1}{3}} = (1/12)^{\frac{1}{3}} \approx 0.437$

得到群体判断矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2.884 & 4.932 \ 0.347 & 1 & 2.289 \ 0.203 & 0.437 & 1 \end{bmatrix} $$

步骤4：计算权重向量

使用和积法计算权重：

1. 计算列和： $$ \sum \text{列}1 = 1 + 0.347 + 0.203 = 1.55 $$

$$ \sum \text{列}2 = 2.884 + 1 + 0.437 = 4.321 $$

$$ \sum \text{列}3 = 4.932 + 2.289 + 1 = 8.221 $$

2. 矩阵按列归一化： $$ \tilde{A} = \begin{bmatrix} 1/1.55 & 2.884/4.321 & 4.932/8.221 \ 0.347/1.55 & 1/4.321 & 2.289/8.221 \ 0.203/1.55 & 0.437/4.321 & 1/8.221 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.645 & 0.667 & 0.600 \ 0.224 & 0.231 & 0.278 \ 0.131 & 0.101 & 0.122 \end{bmatrix} $$

3. 按行平均得到权重向量： $$ W = \begin{bmatrix} (0.645+0.667+0.600)/3 \ (0.224+0.231+0.278)/3 \ (0.131+0.101+0.122)/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.637 \ 0.244 \ 0.118 \end{bmatrix} $$

准则权重结果为：产品质量(0.637)、价格水平(0.244)、服务能力(0.118)。权重和为0.999，不为1，是小数点保留的原因，不是计算错误。

步骤5：一致性检验

计算最大特征值： $$ AW = \begin{bmatrix} 1 & 2.884 & 4.932 \ 0.347 & 1 & 2.289 \ 0.203 & 0.437 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.637 \ 0.244 \ 0.118 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.923 \ 0.735 \ 0.354 \end{bmatrix} $$

$$ \lambda_{\text{max}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{(A \cdot W)_i}{W_i}= \frac{1}{3} \left( \frac{1.923}{0.637} + \frac{0.735}{0.244} + \frac{0.354}{0.118} \right) \approx 3.01 $$

一致性指标： $$ CI = \frac{\lambda_{\text{max}} - n}{n - 1} = \frac{3.01 - 3}{2} = 0.005 $$

查表得RI=0.58（n=3时），一致性比率： $$ CR = \frac{CI}{RI} = \frac{0.005}{0.58} \approx 0.009 < 0.1 $$

通过一致性检验。

1.3 方法优缺点分析

优点：

• 计算相对简单，易于理解和实施
• 保持了判断矩阵的一致性特性
• 适用于专家水平相当的情况
• 结果具有较好的稳定性

缺点：

• 忽略了专家之间的能力差异
• 可能掩盖个别专家的独特见解
• 对极端值比较敏感

2. 专家权重加权平均法

2.1 理论基础

专家权重加权平均法通过综合考虑专家判断的质量（一致性程度）和专家自身的权威性（专业级别），对多位专家的判断结果进行加权集成。

具体步骤如下：

1. 构建层次结构：将决策问题分解为目标层、准则层和方案层
2. 专家独立评判：每位专家对同一层次的因素进行两两比较，构建判断矩阵
3. 判断矩阵计算：将各专家判断矩阵计算AHP权重并进行一致性检验
4. 处理未通过一致性检验的问卷：对于未通过一致性检验的问卷让专家重新打分，或者剔除该问卷的权重结果
5. 确定专家权重：基于专家级别确定专家的权重，并归一化得到专家权重向量
6. 计算综合权重：根据专家权重加权计算综合权重

2.2 实证分析与案例计算

步骤1：构建层次结构

假设需要选择最佳供应商，构建如下层次结构：

• 目标层：选择最佳供应商
• 准则层：产品质量、价格水平、服务能力
• 方案层：供应商A、供应商B、供应商C

步骤2：专家独立评判

3位专家分别对准则层进行两两比较，构建判断矩阵：

专家1的判断矩阵： $$ A^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \ 1/3 & 1 & 2 \ 1/5 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} $$

专家2的判断矩阵： $$ A^{(2)} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 1/2 & 1 & 3 \ 1/4 & 1/3 & 1 \end{bmatrix} $$

专家3的判断矩阵： $$ A^{(3)} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \ 1/4 & 1 & 2 \ 1/6 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} $$

步骤3：判断矩阵计算与一致性检验

使用和积法计算各专家的权重向量并进行一致性检验。

专家1的权重向量： $$ W^{(1)} = \begin{bmatrix} 0.648 \ 0.23 \ 0.122 \end{bmatrix} $$ 计算得 $\lambda_{\text{max}}^{(1)} \approx 3.004$，$CR^{(1)} \approx 0.003 < 0.1$，通过一致性检验。

专家2的权重向量： $$ W^{(2)} = \begin{bmatrix} 0.557 \ 0.32 \ 0.123 \end{bmatrix} $$ 计算得 $\lambda_{\text{max}}^{(2)} \approx 3.018$，$CR^{(2)} \approx 0.015 < 0.1$，通过一致性检验。

专家3的权重向量： $$ W^{(3)} = \begin{bmatrix} 0.7 \ 0.194 \ 0.107 \end{bmatrix} $$ 计算得 $\lambda_{\text{max}}^{(3)} \approx 3.009$，$CR^{(3)} \approx 0.009 < 0.1$，通过一致性检验。

步骤4：处理未通过一致性检验的问卷

所有专家的一致性检验均通过，无需处理。

步骤5：确定专家权重

假设3位专家的级别分别为：

• 专家1：高级（权重为3）
• 专家2：中级（权重为2）
• 专家3：初级（权重为1）

计算未归一化的专家权重向量： $$ \omega_{\text{raw}} = (3, 2, 1)^T $$

对原始权重进行归一化处理： $$ \omega_k = \frac{\omega_{\text{raw},k}}{\sum_{k=1}^{s} \omega_{\text{raw},k}} $$

计算过程： 总权重和 $= 3 + 2 + 1 = 6$

各专家权重：

• 专家1：$3/6 = 0.5$
• 专家2：$2/6 \approx 0.333$
• 专家3：$1/6 \approx 0.167$

得到归一化的专家权重向量： $$ \omega = (0.5, 0.333, 0.167)^T $$

步骤6：计算综合权重

根据专家权重加权平均计算综合权重： $$ W = \sum_{k=1}^{3} \omega_k \cdot W^{(k)} = \omega_1 W^{(1)} + \omega_2 W^{(2)} + \omega_3 W^{(3)} $$

计算过程： $$ W = 0.5 \times \begin{bmatrix} 0.648 \ 0.23 \ 0.122 \end{bmatrix} + 0.333 \times \begin{bmatrix} 0.557 \ 0.32 \ 0.123 \end{bmatrix} + 0.167 \times \begin{bmatrix} 0.7 \ 0.194 \ 0.107 \end{bmatrix} $$

最终得到综合权重向量： $$ W = \begin{bmatrix} 0.626 \ 0.254 \ 0.12 \end{bmatrix} $$

准则权重结果为：产品质量(0.626)、价格水平(0.254)、服务能力(0.12)。

2.3 方法优缺点分析

优点：

• 充分考虑专家级别和经验的差异
• 更加科学合理，符合实际情况
• 能够降低初级专家对决策的过度影响
• 通过一致性检验确保判断质量

缺点：

• 专家级别的划分带有主观性
• 计算过程相对复杂
• 需要明确专家的级别信息
• 一致性检验不通过时需要额外处理

3. 两种方法对比与应用场景

3.1 方法对比表

3.2 应用建议

1. 几何平均法适用场景：

   • 专家组成员背景相似，水平相当
   • 决策问题相对简单，不需要区分专家贡献
   • 时间紧迫，需要快速决策
   • 专家数量较多，个体差异不显著

2. 权重加权平均法适用场景：

   • 专家组成员背景多样，水平差异明显
   • 重要决策，需要充分考虑专家经验和能力
   • 有明确的专家级别信息可用于权重确定
   • 需要确保每个专家的判断质量（通过一致性检验）

4. 实践建议与注意事项

在实际应用群决策AHP时，需要注意以下几点：

1. 专家选择：选择具有代表性和专业性的专家组成员，最好来自不同领域，能够提供多元视角。
2. 判断尺度统一：确保所有专家使用相同的判断尺度（如Saaty的1-9标度法），避免尺度不统一带来的偏差。
3. 一致性要求：严格控制判断矩阵的一致性比率（CR<0.1），对于不满足要求的矩阵需要进行调整或重新评判。
4. 权重确定：在使用权重加权平均法时，专家级别的划分需要谨慎，最好通过集体讨论和评估确定。
5. 问卷处理：对于一致性检验未通过的问卷，应及时与专家沟通，了解判断依据，必要时重新评估。